Câu 14 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho hàm số $y = \left| x \right|$

LG a

Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

Giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 = f\left( 0 \right)$

Vậy f liên tục tại x = 0

LG b

Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

Giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over x} = 1  \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over x} =  - 1 \cr}$

Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x}$ nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0

LG c

Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x ₀ thì có đạo hàm tại x ₀ ” đúng hay sai ?

Giải chi tiết:

Mệnh đề sai. Thật vậy, hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|$ liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).