Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng dãy số $\displaystyle (u_n)$ với $\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}$ là một dãy số giảm và bị chặn.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr }$

$\begin{array}{l} u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*} \end{array}$

$\displaystyle ⇒ (u_n)$ là dãy số giảm

Ta lại có:

+) $\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}$

+) $2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}$ vì $2n + 3 - 3n - 2 =  - n + 1 \le 0,$$\forall n \in {N^*}$

Do đó $\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*$

Vậy $\displaystyle (u_n)$ là dãy số giảm và bị chặn.

Cách khác:

$\begin{array}{l} {u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*} \end{array}$

Do đó $(u_n)$ là dãy số giảm.