Câu 14 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải các phương trình sau :

a.  $\sin 4x = \sin {\pi \over 5}$

b.  $\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}$

c.  $\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2$

d.  $\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.$

LG a

$\sin 4x = \sin {\pi \over 5}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\sin 4x = \sin {\pi \over 5}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\ 4x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{2}\\ 4x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.,k\in Z \end{array}$

LG b

$\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}$

Lời giải chi tiết:

Vì $- {1 \over 2} =- \sin {\pi \over 6} = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)$ nên:

$\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}= \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{x + \pi } \over 5} = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {{{x + \pi } \over 5} = \pi + {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \pi = - \frac{{5\pi }}{6} + k.10\pi \\ x + \pi = \frac{{35\pi }}{6} + k.10\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{{11\pi }}{6} + k.10\pi \\ x = \frac{{29\pi }}{6} + k.10\pi \end{array} \right.,k\in Z \end{array}$

LG c

$\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2$

Lời giải chi tiết:

$\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2$

$\Leftrightarrow {x \over 2} = \pm \sqrt 2 + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 + k4\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$

LG d

$\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.$

Lời giải chi tiết:

$\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{{18}} = \pm \arccos \frac{2}{5} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{2}{5} - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k\in Z \end{array}$

Cách trình bày khác:

Vì $0 < {2 \over 5} < 1$ nên có số $α$ sao cho $\cos \alpha = {2 \over 5}.$ Do đó :

$\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = \cos \alpha$

$\Leftrightarrow x = \pm \alpha - {\pi \over {18}} + k2\pi ,k \in \mathbb Z$