Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

LG a

Dãy số (u _n ) với ${u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7$

Phương pháp giải:

Xét hiệu u _n+1 – u _n và so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7\cr& - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr & = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 \cr&- 3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + 5n + 5 - 7\cr& - {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr& = 3n\left( {n - 1} \right) + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

LG b

Dãy số (x _n ) với  ${x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}$

Phương pháp giải:

Xét tỉ số ${{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}$ và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^*\cr&\text{vì } \,3n + 3 > n + 2\;\forall n  \in \mathbb N^*  \cr & \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr}$

$⇒ (x_n)$ là dãy số giảm.

LG c

Dãy số (a _n ) với  ${a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n$

Phương pháp giải:

Viết lại công thức xác định a _n dưới dạng

${a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ (sử dụng nhân chia liên hợp)

Tiếp theo, xét tỉ số ${{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}$ và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr& = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr & {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr & \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr}$

⇒ $(a_n)$ là dãy số giảm.