Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Hãy xét tính tăng
Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
LG a
Dãy số (u n ) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\)
Phương pháp giải:
Xét hiệu u n+1 – u n và so sánh với 0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7\cr& - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr & = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 \cr&- 3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + 5n + 5 - 7\cr& - {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr& = 3n\left( {n - 1} \right) + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
LG b
Dãy số (x n ) với \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)
Phương pháp giải:
Xét tỉ số \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n \in \mathbb N^*\cr&\text{vì } \,3n + 3 > n + 2\;\forall n \in \mathbb N^* \cr & \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)
\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.
LG c
Dãy số (a n ) với \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)
Phương pháp giải:
Viết lại công thức xác định a n dưới dạng
\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) (sử dụng nhân chia liên hợp)
Tiếp theo, xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr& = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr & {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr & \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)
⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.