Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho dãy số (u _n ) xác định bởi

${u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5$ với mọi $n ≥ 1$.

LG a

Hãy tính u ₂ , u ₄ và u ₆ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr & {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr & {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr & {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr & {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr}$

LG b

Chứng minh rằng $u_n= 5n – 2$ với mọi $n ≥ 1$.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh : $u_n= 5n – 2$ (1) với mọi $n \in \mathbb N^*$, bằng phương pháp qui nạp.

+) Với $n = 1$, ta có $u_1= 3 = 5.1 – 2$

Vậy (1) đúng khi $n = 1$.

+) Giả sử (1) đúng với $n = k, k\in \mathbb N^*$, tức là:

$u_k=5k-2$

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi $n = k + 1$

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u _n ) và giả thiết qui nạp ta có :

${u_{k + 1}} = {u_k} + 5$

$= 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2$

Do đó (1) đúng với mọi $n \in \mathbb N^*$.

Cách khác:

Ta có:

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\ {u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\ ...\\ {u_3} = {u_2} + 5\\ {u_2} = {u_1} + 5\\ \Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\ = \left( {{u_{n - 1}} + 5} \right) + \left( {{u_{n - 2}} + 5} \right) + ...\\ + \left( {{u_2} + 5} \right) + \left( {{u_1} + 5} \right)\\ \Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\ = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\ + \left( {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right)(\text{ n-1 số 5})\\ \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left( {n - 1} \right)\\ \Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2 \end{array}$