Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm giới hạn của các dãy số (u _n ) với

LG a

${u_n} = {{{3^n} + 1} \over {{2^n} - 1}}$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho 3 ⁿ

Lời giải chi tiết:

${u_n} = \frac{{{3^n}\left( {1 + \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}}{{{3^n}\left( {\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}} = {{1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}}$

$\eqalign{ & \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \right] = 1 > 0\cr &\text{ và }\lim \left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \right] = 0;\cr &{{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}}\right)}^n}} >0 \cr & \text{ nên }\,\lim {u_n} = + \infty \cr}$

LG b

${u_n} = {2^n} - {3^n}$

Phương pháp giải:

Đặt 3 ⁿ ra làm nhân tử chung và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \right] \cr & \lim {3^n} = + \infty\cr &\text{ và }\lim \left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \right] = - 1 < 0 \cr &\text{ nên }{{\mathop{\rm lim}\nolimits}\,u _n} = - \infty \cr}$