Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}$

Lời giải chi tiết

+) Với $n = 1$ ta có ${2^2} = {{2.2.3} \over 3}$ (đúng).

Vậy (1) đúng với $n = 1$

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có :

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh :

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

$\eqalign{ & {2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right).k\left( {2k + 1} \right)}}{3} + 4{\left( {k + 1} \right)^2} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k} \right) + 12{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{3}\cr&= {{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right)} \over 3} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{3} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 4k + 3k + 6} \right)}}{3}\cr& = {{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} \cr}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$ do đó (1) đúng với mọi $n \in\mathbb N^*$