Câu 2 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng

Lời giải chi tiết

Giả sử hình H có hai trục đối xứng d và d’ vuông góc với nhau

Gọi O là giao điểm của hai trục đối xứng đó

Lấy M là điểm bất kì thuộc hình H, M ₁ là điểm đối xứng với M qua d, M’ là điểm đối xứng với M ₁ qua d’

Vì d và d’ đều là trục đối xứng của hình H nên M ₁ và M’ đều thuộc H

Gọi I là trung điểm của MM ₁ , J là trung điểm của M ₁ M’ thì ta có:

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow {M'J} + \overrightarrow {JO} = \overrightarrow {M'O} \)  hay \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM'} = \overrightarrow 0 \)

Vậy phép đối xứng tâm O biến điểm M thuộc hình H thành điểm M’ thuộc H, suy ra H có tâm đối xứng là O