Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

LG a

$a\sin x + b\cos x$ (a và b là hằng số, $a^2+ b^2≠ 0$)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr }$

trong đó $\left\{ \begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \end{array} \right.$

Vì $- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1$ nên:

$- \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $a\sin x + b\cos x$ lần lượt  là :

$\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

LG b

${\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;$

Lời giải chi tiết:

Ta có :

$\eqalign{ & y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr & = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr }$

Ta có:

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\ \le \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\ = \left( {\frac{1}{4} + 1} \right).1 = \frac{5}{4}\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\ \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\ \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \end{array}$

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ${\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x$ lần lượt là :

${{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2$

LG c

$A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x$ (A, B và C là hằng số).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr & = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr & = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr & \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\ \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right).1 = {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow {\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \end{array}$

Vậy $A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x$ đạt giá trị lớn nhất là :

$\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c$ $= \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}}  + \frac{{C + A}}{2}$ $= \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2}$ $= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}$

và giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c$ $= -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}}  + \frac{{C + A}}{2}$ $=- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2}$ $= - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.$