Câu 32 trang 31 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau
Đề bài
Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau
Lời giải chi tiết
Giả sử cho n-giác đều A 1 A 2 …A n và B 1 B 2 …B n có tâm lần lượt là O và O’
Đặt \(k = {{{B_1}{B_2}} \over {{A_1}{A_2}}} = {{O'{B_1}} \over {O{A_1}}}\) .
Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và C 1 C 2 …C n là ảnh của đa giác A 1 A 2 …A n qua phép vị tự V
Hiển nhiên C 1 C 2 …C n cũng là đa giác đều và vì \({{{C_1}{C_2}} \over {{A_1}{A_2}}} = k\) nên C 1 C 2 = B 1 B 2
Vậy hai n-giác đều C 1 C 2 …C n và B 1 B 2 …B n có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C 1 C 2 …C n thành B 1 B 2 …B n
Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến A 1 A 2 …A n thành B 1 B 2 …B n
Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau