Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

LG a

$y = \tan {{x + 1} \over 2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

$y' = \left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}$ $\displaystyle = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}$

LG b

$y = \cot \sqrt {{x^2} + 1}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

$y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$$= \left( {{x^2} + 1} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$ $= \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$

$\displaystyle = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$

LG c

$y = {\tan ^3}x + \cot 2x$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

$y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)' + \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}}$ $= 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ $\displaystyle = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}$

LG d

$y = \tan 3x - \cot 3x$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

$y' = \left( {3x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}3x}} - \left( {3x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3x}}$ $\displaystyle = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}$

LG e

$y = \sqrt {1 + 2\tan x}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

$y' = \left( {1 + 2\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}$ $= 2\left( {\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}$ $= \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}$ $\displaystyle  = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}$

LG f

$y = x\cot x$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

$y' = x'\cot x + x.\left( {\cot x} \right)'$ $= \cot x + x.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}$ $\displaystyle = \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}$