Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho dãy số (u _n ) xác định bởi

$u_1$ = 1 và u _{n + 1} = 5u _n + 8 với mọi n ≥ 1.

LG a

Chứng minh rằng dãy số (v _n ), với v _n = u _n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

Phương pháp giải:

Cộng cả hai vế của đẳng thức đã cho với 2 để làm xuất hiện $v_{n+1}$ và $v_n$

Lời giải chi tiết:

Với mọi n ≥ 1, ta có :

${u_{n + 1}} = 5{u_n} + 8$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5{u_n} + 10$

$\Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right)$

$\Rightarrow {v_{n + 1}} = 5{v_n}$

Do đó (v _n ) là một cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3$ và công bội q = 5.

Số hạng tổng quát : ${v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}$

LG b

Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u _n ).

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa $v_n$ và $u_n$ kết hợp với số hạng TQ đã tìm được ở câu a để suy ra $u_n$.

Lời giải chi tiết:

${v_n} = {u_n} + 2$

$\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2$ với mọi $n ≥ 1$