Câu 43 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
Tìm các giới hạn sau :
LG a
lim
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, khử dạng vô định.
Lời giải chi tiết:
Ta có: {{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}} = {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \right)} \over {\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - x} \right)}} = {{{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \over {\sqrt 3 - x}}
với \,x \ne - \sqrt 3
Do đó : \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \over {\sqrt 3 - x}}= {9 \over {2\sqrt 3 }} = {{3\sqrt 3 } \over 2}
LG b
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {{x^2} - 4x}}
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {{x^2} - 4x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {x\left( {x - 4} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{x\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {1 \over {x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = {1 \over {16}} \cr}
Cách khác:
\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 4x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} - 4x} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{1}{{16}} \end{array}
LG c
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {{x^2} - x}}
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {x\left( {x - 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {1 \over {x\sqrt {x - 1} }} = + \infty \cr}
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x\sqrt {x - 1} } \right) = 0 và x\sqrt {x - 1} > 0,\forall x > 1
LG d
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + x + 1} - 1} \over {3x}}
Phương pháp giải:
Nhân cả tử và mẫu với \sqrt {{x^2} + x + 1} + 1
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + x + 1} - 1} \over {3x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} + x + 1 - 1} \over {3x(\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + x}}{{3x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1} \right)}}\cr &= {1 \over 3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1}} = {1 \over 6} \cr}