Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng
\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\) (1)
Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 2\) ta có:
\({1.2^2} = {{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4\)
Vậy (1) đúng với \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :
\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} - 3k + 2k - 2 + 12k + 12} \right)}}{{12}}\cr& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 6k + 5k + 10} \right)}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{{12}}\cr& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr} \)
Điều đó chứng tỏ (1) đúng với \(n = k + 1\)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)