Câu 44 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 7. Các dạng vô định


Câu 44 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

Tìm các giới hạn sau :

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {{{2{x^3} + x} \over {{x^5} - {x^2} + 3}}} \)

Lời giải chi tiết:

Với \(x < 0\), ta có :

\( x\sqrt {{{2{x^3} + x} \over {{x^5} - {x^2} + 3}}}\)

\(\eqalign{ &  = x\sqrt {\frac{{{x^3}\left( {2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^5}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}} \right)}}} \cr &= x\sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}} \right)}}}   \cr & = x.\frac{1}{{\left| x \right|}}.\sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}}}}  \cr &  = x.\frac{1}{{ - x}}.\sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}}}} \cr &= - \sqrt {{{2 + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^3}}} + {1 \over {{x^5}}}}}} \cr} \)

Do đó :  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {{{2{x^3} + x} \over {{x^5} - {x^2} + 3}}} = - \sqrt 2 \)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right| + \sqrt {{x^2} + x} } \over {x + 10}}\)

Phương pháp giải:

Đưa \(x^2\) ra ngoài dấu căn, chú ý dấu của x.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|+\sqrt {{x^2} + x} } \over {x + 10}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left| x \right| + \sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} }}{{x + 10}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right| + \left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x + 10}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x - x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x + 10}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1 - \sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 + {{10} \over x}}} \cr & = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + 0} }}{{1 + 0}}= - 2 \cr} \)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {2{x^4} + {x^2} - 1} } \over {1 - 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {2{x^4} + {x^2} - 1} } \over {1 - 2x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}\sqrt {2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^4}}}} } \over {x\left( {{1 \over x} - 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x{{\sqrt {2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^4}}}} } \over {{1 \over x} - 2}} = - \infty \cr & \text{vì}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \cr &\text{và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^4}}}} } \over {{1 \over x} - 2}} = - {{\sqrt 2 } \over 2} < 0 \cr} \)

Cách khác:

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + x} \right)\)

Phương pháp giải:

Nhân và chia với biểu thức \(\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + x} \right)\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^2} + 1 - {x^2}} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} - x}} \cr } \)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2}\left( {2 + \dfrac{1}{x^2}} \right)}  - x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x.\dfrac{{x + \dfrac{1}{x}}}{{\left| x \right|\sqrt {2 + \dfrac{1}{x^2}}  - x}} \)

\(  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x.\dfrac{{x + \dfrac{1}{x}}}{{ - x\sqrt {2 + \dfrac{1}{x^2}}  - x}} \)

\(  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x.\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{{ - \sqrt {2 + \dfrac{1}{x^2}}  - 1}} =  + \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{{ - \sqrt {2 + \dfrac{1}{x}}  - 1}} = \dfrac{1}{{ - \sqrt 2  - 1}} < 0\)


Cùng chủ đề:

Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 44 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 44 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 44 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 44 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 45 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 45 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 45 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao