Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho dãy số (u _n ) xác định bởi

${u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}$ với mọi $n ≥ 2$

Chứng minh rằng

${u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}$   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Lời giải chi tiết

+) Với $n = 1$, theo giả thiết ta có ${u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}$. Như vậy (1) đúng khi $n = 1$.

+) Giả sử (1) đúng đến $n = k,\; k \in\mathbb N^*$ tức là: $u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}$

Ta chứng minh (1) đúng với $n=k+1$

${u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2}$

$= \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}$

Vậy (1) đúng với mọi $n \in\mathbb N^*$