Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
Đề bài
Cho dãy số (u n ) xác định bởi
\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)
Chứng minh rằng
\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp
+) chỉ ra đẳng thức đúng với n = 1: \({u_1} = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\)
+) Giả sử đẳng thức đúng đến n=k, chứng minh n=k+1 đẳng thức vẫn đúng.
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\). Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng đến \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là: \(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} \)
\( = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)