Câu 45 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các giới hạn sau :

LG a

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x } \over {{x^2}}}$

Phương pháp giải:

Nhân của tử và mẫu với ${\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt x }$.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x } \over {{x^2}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x - x}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt x } \right)}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2 \over {{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} = + \infty \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt x } \right) = 0,$ $\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt x  > 0$ khi $x\to 0^+$.

LG b

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x{{\sqrt {1 - x} } \over {2\sqrt {1 - x} + 1 - x}}$

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x{{\sqrt {1 - x} } \over {2\sqrt {1 - x} + 1 - x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - x} \left( {2 + \sqrt {1 - x} } \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x \over {2 + \sqrt {1 - x} }} = {1 \over 2}$

LG c

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{3 - x} \over {\sqrt {27 - {x^3}} }}$

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{3 - x} \over {\sqrt {27 - {x^3}} }} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{{{\left( {\sqrt {3 - x} } \right)}^2}} \over {\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {3 - x} } \over {\sqrt {{x^2} + 3x + 9} }} = 0 \cr}$

LG d

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^3} - 8} } \over {{x^2} - 2x}}$

Phương pháp giải:

Phân tích tử vàu mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^3} - 8} } \over {{x^2} - 2x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} } \over {x\left( {x - 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{{x\sqrt {x - 2} }}\cr &= + \infty \cr}$

Vì

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x + 4} = 2\sqrt 3 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x\sqrt {x - 2} = 0;\,x\sqrt {x - 2} > 0\cr &\forall x > 2 \cr}$