Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Chứng minh rằng với mọi $n ≥ 1$, ta có :

LG a

Nếu $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}$

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Lời giải chi tiết:

Cho $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).$ Ta hãy chứng minh công thức :

${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)$ bằng phương pháp qui nạp.

+ Với $n = 1$, ta có : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2}}}$ $\text{ và }\,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}$

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp $n = k (k ≥ 1)$, tức là : ${f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}$,

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp $n = k + 1$, tức là :

${f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}$

Thật vậy, ta có :

${f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]'$

$= \left[ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]'$ $= {\left( { - 1} \right)^k}.k!\frac{{ - \left( {{x^{k + 1}}} \right)'}}{{{{\left( {{x^{k + 1}}} \right)}^2}}}$ $= {\left( { - 1} \right)^k}.k!.\frac{{\left( { - 1} \right).\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}}$ $= \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}$

Vậy ta có đpcm.

LG b

Nếu  $f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.$

Lời giải chi tiết:

Cho $f(x) = \cos x$. Ta hãy chứng minh công thức :

${f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)$ bằng phương pháp qui nạp.

Ta có:  $f'\left( x \right) =  - \sin x;f"\left( x \right) =  - \cos x;$

$f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x$

+ Với n = 1 thì  ${f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x$

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp $n = k (k ≥ 1)$, tức là :  ${f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,$

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp $n = k + 1$, tức là phải chứng minh :

${f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x$ $\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)$

Thật vậy, vì :

$\begin{array}{l} {f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x \\ \text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = - \sin x\\ {f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - \cos x\\ {f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\ {f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x \end{array}$

Vậy ta có đpcm.

LG c

Nếu $f\left( x \right) = \sin ax$ (a là hằng số) thì  ${f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\ f"\left( x \right) = - {a^2}\sin ax\\ {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - {a^3}\cos ax\\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax \end{array}$

Với $n = 1$ ta có ${f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,$ đẳng thức đúng với $n = 1$

Giả sử đẳng thức đúng với $n = k$ tức là :  ${f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax$

Với $n = k + 1$ ta có  ${f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)$ $= {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}$

Do ${f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax$

$\begin{array}{l} {f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\ {f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\ {f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\ {f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax \end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với $n = k + 1$, do đó đẳng thức đúng với mọi n.