Câu 9 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Lời giải chi tiết

Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm trên hai tia Ox và Oy.

Gọi A’ và A” là các điểm đối xứng với điểm A lần lượt qua các đường thẳng Ox và Oy.

Ta có $AB = A’B$ và $AC = A”C$ ( do các $△ABA’$ và $△ACA”$ là các tam giác cân).

Gọi $2p$ là chu vi của tam giác ABC thì:

$2p = AB + BC + CA$$= A’B + BC + CA” ≥ A’A”$

Dấu “=” xảy ra khi bốn điểm $A’, B, C, A”$ thẳng hàng.

Suy ra để chu vi tam giác ABC bé nhất thì phải lấy B và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A” với hai tia Ox và Oy (các giao điểm đó tồn tại vì góc xOy nhọn)