Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A ₁ B ₁ C ₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A ₂ B ₂ C ₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A ₁ B ₁ C ₁ ,…, tam giác A _n+1 B _n+1 C _n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A _n B _n C _n , … . Gọi p ₁ , p ₂ , ..., p _n , … và S ₁ , S ₂ , …, S _n , … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

LG a

Tìm giới hạn của các dãy số (p _n ) và (S _n ).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};$

${p_2}  = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4}= {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}}$

...

${p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}$ (1)

Chứng minh bằng qui nạp:

+) Với n=1 thì ${p_1} = \frac{{3a}}{2}$ (đúng).

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ${p_k} = {{3a} \over {{2^k}}}$. Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1.

Tam giác ${A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}$ đồng dạng tam giác $A_kB_kC_k$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$ nên có chu vi ${p_{k + 1}} = \frac{1}{2}{p_k} = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{{{2^k}}} = \frac{{3a}}{{{2^{k + 1}}}}$

Do đó ta có ${p_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}}$.

Vì $\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\text { nên }\lim {p_n} = 0$

Diện tích tam giác ABC là $S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$. Diện tích tam giác A ₁ B ₁ C ₁ là  ${S_1} = {S \over 4}$

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là ${S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.{\left( {{1 \over 4}} \right)^n}$

Vì  $\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0$ nên $\lim {S_n} = 0$.

LG b

Tìm các tổng

${p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...$ và ${S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có (p _n ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = {1 \over 2},$ do đó :

${p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}}$ $= 2{p_1}= 2.\frac{{3a}}{2} = 3a$

(S _n ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q' = {1 \over 4}$ do đó :

${S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}}$ $= {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}$