Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, nếu ${8^k} + 1$ chia hết cho 7 thì ${8^{k + 1}} + 1$ cũng chia hết cho 7 ” như sau :

Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7.$ Từ đây và giả thiết “${8^k} + 1$ chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “${8^n} + 1$ chia hết cho 7 với mọi $n \in \mathbb N^*$ ” hay không ? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Không thể kết luận “${8^n} + 1$ chia hết cho 7 với mọi $n \in \mathbb N^*$ ”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi $n = 1$.

Cụ thể,

Với n=1 thì $8^1+1=9$ không chia hết cho 7.

Vậy không cần làm các bước chứng minh như bạn HS trên.