Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

LG a

Cho vecto $\overrightarrow n$ khác $\overrightarrow 0$ và hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto $\overrightarrow n$ vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thì ba vecto $\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ không đồng phẳng.

Lời giải chi tiết:

Nếu $\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho $\overrightarrow n  = k.\overrightarrow a  + l.\overrightarrow b$

suy ra $\overrightarrow n .\overrightarrow n  = k\overrightarrow a .\overrightarrow n  + l\overrightarrow b .\overrightarrow n  = 0$ $\Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow n  = \overrightarrow 0$ (vô lí)

vậy $\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ không đồng phẳng

LG b

Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto $\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0$ thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Giả sử ba vecto cùng vuông góc với $\overrightarrow n$ là $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$

Tức là $\overrightarrow a .\overrightarrow n  = \overrightarrow b .\overrightarrow n  = \overrightarrow c .\overrightarrow n  = 0$

Nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vecto cùng phương thì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng

Nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vecto không cùng phương thì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n$ là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ câu a)

Khi đó $\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b  + z\overrightarrow n .$

Nhân vô hướng hai vế với $\overrightarrow n ,$ ta có $\overrightarrow c .\overrightarrow n  = x\overrightarrow a .\overrightarrow n  + y\overrightarrow b .\overrightarrow n  + z{\overrightarrow n ^2}$ suy ra $z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,$ tức là $\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b .$

Vậy các vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng

Nếu ba đường thẳng d ₁ , d ₂ , d ₃ cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d ₁ ,d ₂ ,d ₃ đồng phẳng tức là ba đường thẳng d ₁ ,d ₂ ,d ₃ cùng song song với một mặt phẳng.