Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 10 - Bài 5 - Chương 3 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy A là điểm chính giữa của cung BC. D là điểm di động trên cung AC, AD cắt BC tại E. Xác định vị trí điểm D để $2AD + AE$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có :

$\widehat {AEC} = \dfrac{{sd\overparen{AB} - sd\overparen{CD}} }{ 2}$$\,= \dfrac{{sd\overparen{AC} - sd\overparen{CD}}}{ 2} = \dfrac{{sd\overparen{AD}} }{ 2}$  ( vì $\overparen{AB} = \overparen{AC}$ )

Lại có $\widehat {ACD} = \dfrac{{sd\overparen{AD}}}{2} \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ACD}$

$\Rightarrow  ∆ACD$ và $∆AEC$ đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AC}} =\dfrac {{AC} }{{AE}} \Rightarrow A{C^2} = AD.AE$

$∆ABC$ vuông cân ( chắn nửa đường tròn) có $BC = 2R.$

Đặt $AB = AC = x.$

Theo định lí Py-ta-go:

$\eqalign{ & {x^2} + {x^2} = {\left( {2R} \right)^2} \Rightarrow 2{x^2} = 4{R^2} \cr & \Rightarrow {x^2} = 2{R^2} \Rightarrow x = R\sqrt 2 \cr}$

Vậy $AB = AC = R\sqrt 2$

$\Rightarrow {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = AD.AE$

$\Rightarrow AD.AE = 2{R^2}.$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có :

$2AD + AE \ge 2\sqrt {2AD.AE}$

$2AD + AE \ge 4R$

Dấu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow  2AD  = AE = 2R$

Do đó khi D thuộc cung AC sao cho $AD = R$ thì $2AD + AE$ nhỏ nhất.