Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 9 - Bài 5 - Chương 3 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường  tròn (O). Từ điểm P bên ngoài đường tròn kẻ cát tuyến PAB và hai tiếp tuyến PM, PN với (O) (M thuộc cung nhỏ AB). Lấy D là điểm chính giữa của cung lớn AB, DM cắt AB tại I.

a)Chứng minh: $PM = PI$.

b) Chứng minh: $IA.NB = IB.NA$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\widehat {PMD} = \dfrac{{sd\overparen{DA} + sd\overparen{MA}}}{ 2}$ ( góc giữa tiếp tuyến và một dây)

$\widehat {PIM} = \dfrac{{sd\overparen{DB} + sd\overparen{MA}}}{ 2}$ ( góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà $\overparen{ DB} = \overparen{ DA}$ (gt) $\Rightarrow \widehat {PMD} = \widehat {PIM}$

Do đó $∆PMI$ cân tại đỉnh P $\Rightarrow PM = PI.$

b) $PM = PN$ ( (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $PM = PI$ (cmt)  $\Rightarrow PN = PI$ nên $∆PNI$ cân $\Rightarrow \widehat {PNI} = \widehat {PIN}$

Mà $\widehat {PNI} = \widehat {PNA} + \widehat {ANI}$ và $\widehat {PIN} = \widehat {INB} + \widehat B$ ( góc ngoài của ∆NIB)

Mà $\widehat B = \widehat {PNA}$ (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây)

$\Rightarrow \widehat {ANI} = \widehat {INB}$ hay NI là phân giác của $∆ANB.$

Theo tính chất đường phân giác, ta có :

$\dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{NA} }{ {NB}}$

$\Rightarrow  IA.NB = IB.NA.$