Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm): Hãy tính giá trị của:

a) $M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3$ ;

b) $N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }$ ;

c) $P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}$ ;

Câu 2 (2,0 điểm): Cho các biểu thức:

$A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}$  và  $B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}$  với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.$

a) Hãy tính giá trị của A khi $x = 16$.

b) Rút gọn B .

c) Xét biểu thức $T = \dfrac{A}{B}$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T .

Câu 3 (2,0 điểm): Cho hàm số $y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1$ (với m là tham số và $m \ne 2$) có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right).$

a) Khi $m = 0$, hãy vẽ $\left( d \right)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

b) Tìm m để $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 2x - 5$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Tìm m để $\left( d \right)$ cùng với các trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm A nằm ngoài $\left( O \right)$. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với $\left( O \right)$ ( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC .

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC .

c) Lấy D đối xứng với B qua O . Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với $\left( O \right)$ ( E không trùng với D ). Chứng minh $\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}$.

d) Tính số đo góc HEC .

Câu 5 (0,5 điểm): Cho $x > 0,\,\,y > 0$ thỏa mãn $xy = 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}$ .

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) $M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3$

$\begin{array}{l}M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3  = \left( {2.10\sqrt 3  + 3.4\sqrt 3  - 4.5\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {20\sqrt 3  + 12\sqrt 3  - 20\sqrt 3 } \right):\sqrt 3  = 12\sqrt 3 :\sqrt 3  = 12\end{array}$

b) $N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }$ ;

$\begin{array}{l}N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  \\\;\;\;= \left| {\sqrt 3  - 2} \right| + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = 2 - \sqrt 3  + \left| {\sqrt 3  - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = 2 - \sqrt 3  + \sqrt 3  - 1 = 1\end{array}$

c) $P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}$ ;

$\begin{array}{l}P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} - \dfrac{{1\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}} + \dfrac{{12\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2} - \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{ - 1}} + \dfrac{{12\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ = \sqrt 3  - 1 + \sqrt 3  + 2 + 2\left( {3 - \sqrt 3 } \right) = 7\end{array}$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Câu 2: Cho các biểu thức:

$A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}$ và $B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.$

a) Hãy tính giá trị của A khi $x = 16$ .

Tại $x = 16$thì $A = 1 - \dfrac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \dfrac{4}{{1 + 4}} = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$

b) Rút gọn B .

$\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}}\end{array}$

c) Xét biểu thức $T = \dfrac{A}{B}$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T .

$A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{1 + \sqrt x  - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}$

$T = \dfrac{A}{B} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}:\dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }}$

Do $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \dfrac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 =  - 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 0$

Vậy $Min\;T =  - 2$ khi $x = 0.$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Câu 3: Cho hàm số $y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1$ (với m là tham số và $m \ne 2$ ) có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right).$

a) Khi $m = 0$ , hãy vẽ $\left( d \right)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$ .

Khi$m = 0$ thì $\left( d \right):\;\;y = 2x + 1$

Đồ thị của đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua 2 điểm $\left( {0;1} \right),\,\,\,\left( {1;3} \right).$

b) Tìm m để $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 2x - 5$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và đường thẳng $y = 2x - 5$ là

$\left( {2 - m} \right)x + m + 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow mx = m + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Để $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 2x - 5$ tại điểm có hoành độ bằng 2 thì $x = 2$  là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ hay $2m = m + 6 \Leftrightarrow m = 6.$

Vậy với $m = 6$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Tìm m để $\left( d \right)$ cùng với các trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Gọi A và B là giao điểm của $\left( d \right)$ lần lượt với hai trục tọa độ Ox, Oy .

Tọa độ điểm A thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}$

$\Rightarrow A\left( {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|$

Tọa độ điểm B thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1$

$\Rightarrow B\left( {0;m + 1} \right) \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|$

${S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{OA.OB}}{2} = 2$

$\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4$

$\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| {m - 2} \right|$

Trường hợp 1: $m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 9 = 0$ vô nghiệm.

Trường hợp 2: $m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} =  - 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\m =  - 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy với $m = 1$ hoặc $m =  - 7$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Câu 4: Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm A nằm ngoài $\left( O \right)$ . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với $\left( O \right)$ ( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC .

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$$\Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}$

$\Rightarrow$ B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

$\Rightarrow$ A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA . (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC .

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$ cắt nhau tại A

$\Rightarrow$$AB = AC$ và AO là phân giác $\angle BAC$  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác cân tại A

$\Rightarrow$ AO vừa là phân giác $\angle BAC$  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O . Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với $\left( O \right)$ ( E không trùng với D ). Chứng minh $\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}$ .

Ta có D đối xứng với B qua O $\Rightarrow$ BD là đường kính của $\left( O \right)$

$\Rightarrow$$\angle BED = {90^o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta BED$ và $\Delta ABD$ có: $\angle BED = \angle ABD = {90^o}$, $\angle D$ chung

d) Tính số đo góc HEC .

$\angle BCD = {90^o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\angle AHB = {90^o}$ ( AO là trung trực của BC )

Xét $\Delta BCD$ và $\Delta AHB$ có: $\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH$( BA là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại B )

kết hợp c) $\Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{CD}}{{BH}}$

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta DCE$ có     (2 góc t.ư)

$\Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC$

Mà $\angle BED = {90^o}$ (chứng minh trên)

Vậy $\angle HEC = {90^o}$

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Cho $x > 0,\,\,y > 0$ thỏa mãn $xy = 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}$ .

$Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{2y + 3x}}{{xy}} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{3x + 2y}}{6} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}$

Đặt $t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y}  \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6}  = 12$

Theo bất đẳng thức AM-GM và vì $t \ge 12$ nên ta có:

$Q = \dfrac{t}{6} + \dfrac{6}{t} = \left( {\dfrac{t}{6} + \dfrac{{24}}{t}} \right) - \dfrac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\dfrac{t}{6}.\dfrac{{24}}{t}}  - \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\\dfrac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là $\dfrac{5}{2}$ đạt được khi $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.$.