Đề số 12 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)

Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng và ghi vào tờ giấy thi của em.

Câu 1 : Căn bậc hai số học của $16$ là

A. $4$ B.$- 4$

C. $\pm 4$ D.$256$

Câu 2 : Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {\dfrac{{2017}}{{x - 2018}}}$  là

A. $x \ge 2018$ B.$x \ne 2018$

C. $x > 2018$ D.$x < 2018$

Câu 3 : Rút gọn biểu thức $\sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  + \sqrt 3$ ta được kết quả là

A. $2$ B.$2\sqrt 3  - 2$

C. $2\sqrt 3  + 2$ D.$2 - \sqrt 3$

Câu 4 : Hàm số $y = (m - 2017)x + 2018$ đồng biến khi

A. $m \ne 2017$ B.$m \ge 2017$

C. $m > 2017$ D.$m < 2017$

Câu 5 : Tìm giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số $y = (m - 2017)x + 2018$ đi qua điểm $(1\,;\,\,1)$ ta được

A. $m = 2017$ B.$m = 0$

C. $m > 2017$ D.$m < 2017$

Câu 6 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 3,AB = 4$. Khi đó $\cos B$ bằng

A. $\dfrac{3}{4}$ B.$\dfrac{3}{5}$

C. $\dfrac{4}{3}$ D.$\dfrac{4}{5}$

Câu 7 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB = 9cm,\,\,BC = 15cm$. Khi đó độ dài $AH$ bằng:

A. $6,5cm$ B.$7,2cm$

C. $7,5cm$ D.$7,7cm$

Câu 8 : Giá trị của biểu thức $P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}$ bằng

A. $0$ B.$1$

C. $2$ D.$3$

II. TỰ LUẬN (8,0 điểm):

Bài 1 (1,75 điểm):

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 9}}{{x - 9}}$  với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$.

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x = 4 - 2\sqrt 3$.

Bài 2 (2,0 điểm):

Cho hàm số $y = (m - 1)x + m$.

a) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$.

b) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số cắt hoành tại điểm có hoành độ bằng $- 3$.

c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của $m$ tìm được ở các câu a) và b) trên cùng hệ trục tọa độ $Oxy$ và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.

Câu 3 (3,0 điểm):

Cho đường tròn $(O,R)\,$và đường thẳng $d$ cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm $A$ bất kì trên đường thẳng $d$ kẻ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn ($B$ là tiếp điểm). Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $H$, trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $C$ sao cho $HC = HB$.

a) Chứng minh $C$ thuộc đường tròn $(O,R)\,$và $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O,R)\,$.

b) Từ $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $d$ tại $I$, $OI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $OH.OA = OI.OK = {R^2}$.

c) Chứng minh khi $A$ thay đổi trên đường thẳng $d$ thì đường thẳng $BC$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4 (1,25 điểm):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x - 2\sqrt {2x - 1}$.

b) Giải phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  + 3 = 3\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 2}$.

LG trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

I. TRẮC NGHIỆM:

1. A	2. C	3. A	4. C
5. B	6. D	7. B	8. C

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$ ta có:

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 9}}{{x - 9}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - (3x + 9)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x - 3\sqrt x  + 2x + 6\sqrt x  - 3x - 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{3\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{3\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}$

Vậy $P = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$

b) Theo câu a) với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$ta có $P = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}$.

Ta có $x = 4 - 2\sqrt 3$thỏa mãn ĐKXĐ.

Có: $x = 4 - 2\sqrt 3  = 3 - 2.\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| = \sqrt 3  - 1.$

Thay $\sqrt x  = \sqrt 3  - 1$vào biểu thức ta có:

$\begin{array}{l}P = \dfrac{3}{{\sqrt 3  - 1 + 3}} = \dfrac{3}{{\sqrt 3  + 2}} = \dfrac{{3\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{6 - 3\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 6 - 3\sqrt 3 .\end{array}$

Vậy $P = 6 - 3\sqrt 3$   khi$x = 4 - 2\sqrt 3$.

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

a) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm của tung độ bằng $2$ nên đồ thị của hàm số đi qua điểm $A(0\,;\,\,2)$

$\Leftrightarrow 2 = (m - 1).0 + m \Leftrightarrow m = 2$

Vậy với $m = 2$ thì đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm của tung độ bằng $2$.

b) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm của hoành độ bằng $- 3$ nên đồ thị của hàm số đi qua điểm $B( - 3\,;\,\,0)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 = (m - 1).( - 3) + m \Leftrightarrow 0 =  - 3m + 3 + m\\ \Leftrightarrow 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy với $m = \dfrac{3}{2}$ thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm của hoành độ bằng $- 3$.

c)  +) Với $m = 2$ hàm số trở thành $y = x + 2$.

+) Với $m = \dfrac{3}{2}$ hàm số trở thành $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$.

Ta có bảng giá trị:

$x$	0	1
$y = x + 2$	2	3
$y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$	$\dfrac{3}{2}$	2

Đồ thị của hàm số $y = x + 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(1\,;\,\,3)$ và $(0\,;\,\,2)$.

Đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0\,;\,\,\dfrac{3}{2}} \right)$ và $(1\,;\,\,2)$.

+) Vẽ đồ thị của hai hàm số:

+) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;x + 2 = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2} - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}$

Với $x =  - 1$ ta được $y =  - 1 + 2 = 1$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là $( - 1\,;\,\,1)$.

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

a) +) Chứng minh $C$ thuộc đường tròn $\left( O \right):$

Xét $\Delta BHO$ và $\Delta CHO$ ta có:

$\begin{array}{l}OH\;\;chung\\\angle OHB = \angle OHC = {90^0}\\BH = HC\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHO = \Delta CHO\;\;\left( {c - g - c} \right).\end{array}$

$\Rightarrow OB = OC = R$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow C$ thuộc đường tròn $\left( O \right).$  (đpcm)

+) Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right):$

Ta có: $\Delta BHO = \Delta CHO\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BOH = \angle COH$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta ACO$ ta có:

$\begin{array}{l}BO = OC\;\left( { = R} \right)\\\angle BOA = \angle COA\;\;\left( {cmt} \right)\\OA\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta ABO = \Delta ACO\;\;\left( {c - g - c} \right).\end{array}$

$\Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}$ (hai góc tương ứng)

Hay $OC \bot AC$

$\Rightarrow AC$là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $C.$ (đpcm)

b) Xét $\Delta OHK$ và $\Delta OIA$ ta có:

$\begin{array}{l}\angle KOH\;\;chung\\\angle OIA = \angle OHK = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta OHK \sim \Delta OIA\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OI}} = \dfrac{{OK}}{{OA}} \Rightarrow OH.OA = OK.OI$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét $\Delta ABO$vuông tại $B$ có  đường cao$BH$ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow B{O^2} = OH.OA\,\,\, \Rightarrow OH.OA = {R^2}\\ \Rightarrow OH.OA = OI.OK = {R^2}\;\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}$

c) Theo câu b) ta có: $OI.OK = {R^2}\,\, \Rightarrow OK = \dfrac{{{R^2}}}{{OI}}$không đổi.

Mà $K$ thuộc $OI$ cố định nên $K$ cố định.

Vậy khi $A$thay đổi trên đường thẳng $d$ thì đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $K$ cố định.

Câu 4:

a) Điều kiện: $x \ge \dfrac{1}{2}$.

Ta có: $Q = x - 2\sqrt {2x - 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2Q = 2\left( {x - 2\sqrt {2x - 1} } \right) = 2x - 4\sqrt {2x - 1}  = 2x - 1 - 4\sqrt {2x - 1}  + 4 - 3\\ \Rightarrow 2Q = {\left( {\sqrt {2x - 1}  - 2} \right)^2} - 3 \ge  - 3\\ \Rightarrow Q \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  - 2 = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 2$ $\Leftrightarrow 2x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\;\left( {tm} \right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x - 2\sqrt {2x - 1}$ là $Q = \dfrac{{ - 3}}{2}$ khi $x = \dfrac{5}{2}.$

b) ĐKXĐ: $x \ge 2$ .

Với $x \ge 2$ ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  + 3 = 3\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 2} \\ \Leftrightarrow \sqrt {(x - 1)(x - 2)}  + 3 - 3\sqrt {x - 1}  - \sqrt {x - 2}  = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 2}  - 3} \right) - \left( {\sqrt {x - 2}  - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 2}  - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  - 3 = 0\\\sqrt {x - 1}  - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = 3\\\sqrt {x - 1}  = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 9\\x - 1 = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$.

Ta thấy $x = 11$ và $x = 2$ thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ 11}}\,{\rm{;}}\,\,{\rm{2\} }}$.