Đề số 14 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Tính: $3\sqrt {16}  + 5\sqrt {36}$

b) Chứng minh rằng: với $x > 0$ và $x \ne 1$ thì $\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$

Câu 2 (2,5 điểm) Cho hàm số $y = (2m + 1)x - 6$ có đồ thị $(d)$.

a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số nghịch biến trên $R$.

b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(d)$ đã cho đi qua điểm $A(1;\,\,2)$.

c) Vẽ $(d)$ khi $m =  - 2$.

Câu 3 (1,5 điểm):

Một cột đèn cao $7m$ có bóng trên mặt đất dài $4m$. Gần đó có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất dài $80m$ (hình vẽ). Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao $2m$.

Câu 4 (1,5 điểm):

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ($H$ thuộc $BC$). Biết $\angle ACB = {60^0},\,\,CH = a$. Tính độ dài $AB$ và $AC$ theo $a$.

Câu 5 (3,0 điểm):

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A\,\,(AB < AC)$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$ cắt cạnh $BC$ tại $D\,\,(D \ne C)$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $DC.$ Tia $OH$ cắt cạnh $AB$ tại $E$ . Chứng minh:

a) $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$.

b) $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Tứ giác $OHDK$ là hình chữ nhật.

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a)  $3\sqrt {16}  + 5\sqrt {36}  = 3.4 + 5.6 = 12 + 30 = 42$

b) Với $x > 0$ và $x \ne 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\;\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }} \\= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \\= \dfrac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy với $x > 0$ và $x \ne 1$ thì $\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$.

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số bậc nhất $y = (2m + 1)x - 6$nghịch biến trên $R$ khi $2m + 1 < 0$

$\Leftrightarrow 2m <  - 1\,\, \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 1}}{2}$

b) Đồ thị hàm số $y = (2m + 1)x - 6$đi qua điểm $A(1\,;\,\,2)\,\,$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 = (2m + 1).1 - 6\\ \Leftrightarrow 2 = 2m + 1 - 6\,\,\\ \Leftrightarrow 2m = 7\,\,\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{2}.\end{array}$

c) Khi $m =  - 2$ ta có $y =  - 3x - 6$.

Cho $x = 0\,\, \Rightarrow y =  - 6\,\,\,\,;\,  y = 0 \Rightarrow x =  - 2$

Đồ thị hàm số $y =  - 3x - 6$ đi qua $2$ điểm $A\,( - 2\,;\,\,0);\,\,B\,(0\,;\,\, - 6)$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

$\Delta ACH$ vuông tại $H$ có:

$\cos C = \dfrac{{CH}}{{AC}}\,\,\,$$\Rightarrow AC = \dfrac{{CH}}{{\cos C}} = \dfrac{a}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{\dfrac{1}{2}}} = 2a$

$\Delta ABC$ có $AB = AC.\tan C = 2a.\tan {60^0} = 2\sqrt 3 a$

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\Delta ADC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AC$

$\Rightarrow \Delta ADC$ vuông tại $D$

$\Rightarrow AD \bot BC$ tại $D$

$\Rightarrow AD$ là đường cao của tam giác $ABC$

b) Ta có $\Delta AOD$cân tại $O\,\,(OA = OD = R)$.

Mà $OH$ là đường trung tuyến ($H$ là trung điểm của $AD$)

$\Rightarrow OH$ là đường phân giác của $\angle AOD$

$\Rightarrow \angle AOH = \angle DOH$

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta DOE$ ta có:

$\begin{array}{l}EO\;chung\\\angle DOE = \angle AOE\;\;\left( {cmt} \right)\\OA = OD\;\left( { = R} \right)\\ \Rightarrow \Delta AOE = \Delta DOE\,\,(c - g - c).\end{array}$

$\Rightarrow \angle EAO = \angle EDO$(hai góc tương ứng)

Mà $\angle EAO = {90^0}\,\,(\Delta ABC$ vuông tại $A$)$\Rightarrow \angle EDO = {90^0}\,\,\, \Rightarrow ED \bot OD$

Mà $D$ thuộc $(O)\,\, \Rightarrow DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Ta có $H$ là trung điểm của dây cung $AD$ của $(O)$

$\Rightarrow OH \bot AD$ tại $H$ (đường kính – dây cung)

Hay $\angle OHD = {90^0}$

Ta có $K$ là trung điểm của dây cung $DC$ của $(O)$

$\Rightarrow OK \bot DC$ tại $K$ (đường kính – dây cung)

Hay $\angle OKD = {90^0}$

Mà $AD \bot DC \Rightarrow \angle HDO = {90^0}$

Xét tứ giác $OHDK$ ta có: $\angle OHD = \angle HDK = \angle DKO = {90^0}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $OHDK$ là hình chữ nhật. (dhnb)