Đề số 21 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm):

Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x > 0$.

1. Rút gọn P .

2. Tính giá trị của P biết $x = 2019 - 2\sqrt {2018}$

Câu 2 (2,5 điểm):

Cho hàm số $y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)$, (với m là tham số)

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

2. Tìm m để $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {2;8} \right)$.

3. Tìm m để $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4$.

Câu 3 (2,0 điểm):

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {x^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right.$  (với m là tham số)

1. Giải hệ với $m = 3$.

2. Chứng minh rằng với mọi $m \ne  - 1$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = {x^2} - 2y + 10$.

Câu 4 (3,0 điểm) : Cho đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ không có điểm chung với đường tròn $\left( O \right)$, H là hình chiếu vuông góc của O trên $\left( \Delta  \right)$. Từ điểm M bất kỳ trên $\left( \Delta  \right)$ ($M \ne H$), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn $\left( O \right)$ ( A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH .

1. Chứng minh $AB = 2AK$ và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh $OI.OH = OK.OM = {R^2}$.

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho $AN = 2ON$. Đường trung trực của BN cắt OM ở E . Tính tỉ số $\dfrac{{OE}}{{OM}}$.

Câu 5 (0,5 điểm) :

Giải phương trình: $\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2$

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x > 0$.

1. Rút gọn P .

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x  + 1 - \left( {1 - \sqrt x } \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x  + 1 - 1 + x}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} \\= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}$

2. Tính giá trị của P biết $x = 2019 - 2\sqrt {2018}$

$x = 2019 - 2\sqrt {2018}  = 2018 - 2\sqrt {2018}  + 1 = {\left( {\sqrt {2018}  - 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x  = \left| {\sqrt {2018}  - 1} \right| = \sqrt {2018}  - 1$

$\Rightarrow P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{\sqrt {2018}  - 1}}{{\sqrt {2018}  - 1 + 1}} = \dfrac{{\sqrt {2018}  - 1}}{{\sqrt {2018} }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$

Câu 2:

Cho hàm số $y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)$, (với m là tham số)

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

${m^2} - 2m + 3 = {m^2} - 2m + 1 + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0$ với mọi m

Vậy với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó

2. Tìm m để $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {2;8} \right)$.

Để $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {2;8} \right)$ $\Leftrightarrow$$8 = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right).2 - 4 \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 6 - 4 - 8 = 0$

$\Leftrightarrow 2{m^2} - 4m - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 6m - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2m\left( {m + 1} \right) - 6\left( {m + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {2m - 6} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\2m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right.$

Vậy với $m =  - 1$ hoặc $m = 3$ thì $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {2;8} \right)$

3. Tìm m để $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4$.

Để $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 3 = 3\\ - 4 \ne m - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 2} \right) = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$

Vậy với $m = 2$ thì $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4$.

Câu 3:

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {m^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right.$  (với m là tham số)

1. Giải hệ với $m = 3$.

Với $m = 3$ hệ phương trình thành:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + y = {3^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + x + 4 = 12\\y = x + 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 8\\y = x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 6\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right) = \left( {2;6} \right)$

2. Chứng minh rằng với mọi $m \ne  - 1$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = {x^2} - 2y + 10$.

Với $m \ne  - 1$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {m^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + x + 4 = {m^2} + 3\\y = x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x = {m^2} - 1\\y = x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 1\\y = m + 3\end{array} \right.$

Vậy với mọi $m \ne  - 1$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right) = \left( {m - 1;m + 3} \right)$

$Q = {x^2} - 2y + 10 = {x^2} - 2\left( {x + 4} \right) + 10$$\,= {x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1$ với mọi x

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy ${\min _Q} = 1$ đạt được khi $m = 2$

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ không có điểm chung với đường tròn $\left( O \right)$, H là hình chiếu vuông góc của O trên $\left( \Delta  \right)$. Từ điểm M bất kỳ trên $\left( \Delta  \right)$ ($M \ne H$), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn $\left( O \right)$ ( A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH .

1. Chứng minh $AB = 2AK$ và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

Có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$

$\Rightarrow \angle AMK = \angle BMK$ và $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét $\Delta AMK$ và $\Delta BMK$ có: MK chung ; $\angle AMK = \angle BMK$; $MA = MB$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AMK = \Delta BMK$  (c.g.c) $\Rightarrow AK = BK$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AB = AK + BK = AK + AK = 2AK$

Ta có: $\angle OHM = \angle OAM = \angle OBM = {90^o}$ ($OH \bot \left( \Delta  \right)$ và MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$)

$\Rightarrow$ H, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

$\Rightarrow$ M, A, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính OM

2. Chứng minh $OI.OH = OK.OM = {R^2}$.

Có $\Delta AMK = \Delta BMK$ (cmt) $\Rightarrow \angle AKM = \angle BKM$ mà $\angle AKM + \angle BKM = {180^o}$

$\Rightarrow \angle AKM = \angle BKM = {90^o} \Rightarrow AB \bot MN \Rightarrow \angle OKI = {90^o}$

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OMH$ có: $\angle O$ chung ; $\angle OKI = \angle OHM = {90^o}$

$\Delta OIK \sim \Delta OMH$   (g.g) $\Rightarrow \dfrac{{OI}}{{OM}} = \dfrac{{OK}}{{OH}} \Rightarrow OI.OH = OK.OM$

Xét $\Delta BOM$ vuông tại B đường cao BK ta có: $OK.OM = O{B^2} = {R^2}$

$\Rightarrow$$OI.OH = OK.OM = {R^2}$ (đpcm)

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho $AN = 2ON$. Đường trung trực của BN cắt OM ở E . Tính tỉ số $\dfrac{{OE}}{{OM}}$.

Ta có $MA = MB\,\,;\,\,OA = OB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow$ OM là đường trung trực của AB $\Rightarrow EA = EB$ ($E \in OM$)

Mặt khác $EB = EN$ ( E thuộc đường trung trực của BN ) $\Rightarrow EA = EN$

$\Rightarrow \Delta AEN$ cân tại E

Gọi F là trung điểm của AN thì EF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta AEN$ cân tại E

$\Rightarrow EF \bot OA$ mà $OA \bot MA$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow EF//MA$ (từ vuông góc đến song song)

Xét $\Delta OAM$ có $EF//MA$ nên theo định lý Ta-lét ta có: $\dfrac{{OE}}{{OM}} = \dfrac{{OF}}{{OA}}$

Vì $AN = 2ON$ và F là trung điểm của AN nên $AF = FN = ON \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OM}} = \dfrac{2}{3}$

Câu 5:

Giải phương trình: $\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2$

+) Với $a \ge 0\,\,;\,\,b \ge 0$ ta có:

${\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}$

$\Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)}$   (*)

Dấu ‘=’ xảy ra khi $a = b$

+) Điều kiện: $x\,,y \ge 0\,\,;\,\,x + y - 4 \ge 0\,\,;\,\,x - y + 4 \ge 0\,\,;\,\, - x + y + 4 \ge 0\,$

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:

$\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 + x - y + 4} \right)}  = 2\sqrt x$    (1)

$\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x + y - 4 - x + y + 4} \right)}  = 2\sqrt y$    (2)

$\sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt {2\left( {x - y + 4 - x + y + 4} \right)}  = 4$    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$2\sqrt {x + y - 4}  + 2\sqrt {x - y + 4}  + 2\sqrt { - x + y + 4}  \le 2\sqrt x  + 2\sqrt y  + 4$

$\Rightarrow \sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  \le \sqrt x  + \sqrt y  + 2$

Dấu ‘=’ xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = x - y + 4\\x + y - 4 =  - x + y + 4\\x - y + 4 =  - x + y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = y = 4$