Giải bài 1.14 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (left( C right):{rm{ }}{left( {x{rm{ }}-{rm{ }}2} right)^2}; + {rm{ }}{y^2}; = {rm{ }}1.)
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; = {\rm{ }}1.\)
a) Tìm tọa độ tâm đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua \({Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}\).
b) Viết phương trình (C').
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Phép quay tâm O, góc quay \(\alpha\) :
Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
- Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\left( {{\rm{ }}y-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{R^2}.\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; = {\rm{ }}1\). Suy ra đường tròn (C) có tâm I(2; 0) và bán kính R = 1.
Vì (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay \({Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}\) nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép quay \({Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}\).
Vì I(2; 0) nên I'(0; 2).
b) Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên bán kính của đường tròn (C') là 1.
Vậy phương trình đường tròn (C') là \({x^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}1.\)