Giải bài 1 trang 30 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin(3x+π6)=√32; b) cos(2x−300)=−1;
Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin(3x+π6)=√32;
b) cos(2x−300)=−1;
c) 3sin(−2x+170)=4;
d) cos(3x−7π12)=cos(−x+π4);
e) √3tan(x−π4)−1=0;
g) cot(x3+2π5)=cotπ5.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình:
a, c) Phương trình sinx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=π−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [−π2;π2] sao cho sinα=m.
Đặc biệt: sinu=sinv⇔u=v+k2π(k∈Z) hoặc u=π−v+k2π(k∈Z)
sinu=sina0⇔u=a0+k3600(k∈Z) hoặc u=1800−a0+k3600(k∈Z)
b) cosu=−1⇔u=π+k2π(k∈Z); cosu=−1⇔u=1800+k3600(k∈Z)
d) Phương trình cosx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [0;π] sao cho cosα=m.
Đặc biệt: cosu=cosv⇔u=v+k2π(k∈Z) hoặc u=−v+k2π(k∈Z)
cosu=cosa0⇔u=a0+k3600(k∈Z) hoặc u=−a0+k3600(k∈Z)
e) Với mọi số thực m, phương trình tanx=m có nghiệm x=α+kπ(k∈Z) với α là góc thuộc (−π2;π2) sao cho tanα=m.
g) Với mọi số thực m, phương trình cotx=m có nghiệm x=α+kπ(k∈Z) với α là góc thuộc (0;π) sao cho cotα=m.
Lời giải chi tiết
a) sin(3x+π6)=√32⇔sin(3x+π6)=sinπ3⇔[3x+π6=π3+k2π3x+π6=π−π3+k2π(k∈Z)
⇔[x=π18+k2π3x=π6+k2π3(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π18+k2π3(k∈Z);x=π6+k2π3(k∈Z)
b) cos(2x−300)=−1⇔2x−300=1800+k3600(k∈Z)⇔x=1050+k1800(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1050+k1800(k∈Z)
c) 3sin(−2x+170)=4⇔sin(−2x+170)=43
Vì sin(−2x+170)<1 với mọi số thực x nên phương trình đã cho vô nghiệm.
d) cos(3x−7π12)=cos(−x+π4)⇔[3x−7π12=−x+π4+k2π3x−7π12=−(−x+π4)+k2π(k∈Z)
⇔[x=5π24+kπ2x=π6+kπ(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=5π24+kπ2(k∈Z);x=π6+kπ(k∈Z)
e) √3tan(x−π4)−1=0⇔tan(x−π4)=√33⇔tan(x−π4)=tanπ6
⇔x−π4=π6+kπ(k∈Z)⇔x=5π12+kπ(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=5π12+kπ(k∈Z)
g) cot(x3+2π5)=cotπ5⇔x3+2π5=π5+kπ(k∈Z)⇔x=−3π5+k3π(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=−3π5+k3π(k∈Z)