Processing math: 24%

Giải bài 1 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

SBT Toán 11 - Giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 - SBT Toán 11 CTST


Giải bài 1 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

Đề bài

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x)=4x+1 tại x=2;

b) f(x)=x4 tại x=1;

c) f(x)=1x+1;

d) f(x)=3x2+1.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để tính: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)x0(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại {x_0}, kí hiệu là f'\left( {{x_0}} \right) hoặc y'\left( {{x_0}} \right). Vậy f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

Lời giải chi tiết

a) Với bất kì {x_0} \ge \frac{{ - 1}}{4} ta có: f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt {4x + 1}  - \sqrt {4{x_0} + 1} }}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 1}  - \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4x + 1 - 4{x_0} - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{4}{{\left( {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \frac{4}{{2\sqrt {4{x_0} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4{x_0} + 1} }}

Suy ra: f'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }}. Do đó, f'\left( 2 \right) = \frac{2}{{\sqrt {4.2 + 1} }} = \frac{2}{3}

b) Với bất kì {x_0} ta có: f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^4} - x_0^4}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x + {x_0}} \right) = \left( {x_0^2 + x_0^2} \right)\left( {{x_0} + {x_0}} \right) = 2x_0^2.2{x_0} = 4x_0^3

Do đó, f'\left( x \right) = 4{x^3}. Suy ra f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} =  - 4

c) Với bất kì {x_0} \ne  - 1 ta có: f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{{x_0} + 1}}}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} + 1 - x - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}

=  - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}

Vậy f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}

d) Với bất kì {x_0} ta có:

f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 1 - x_0^2 - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x + {x_0}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}} = \frac{{2{x_0}}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}}

Vậy f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}


Cùng chủ đề:

Giải bài 1 trang 26 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 1 trang 30 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 1 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 1 trang 38 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 1 trang 43 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 1 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 1 trang 50 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 1 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 1 trang 57 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 1 trang 60 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 1 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2