Giải bài 1 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh $a\sqrt 2$. Biết rằng $SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2$.

a) Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình vuông tâm O nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì $SA = SC$ nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAC. Do đó, $SO \bot AC$

Vì $SB = SD$ nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBD. Do đó, $SO \bot BD$

Vì $SO \bot AC$, $SO \bot BD$, AC và BD cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Do đó, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

b) Kẻ $AH \bot SC\left( {H \in SC} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2a$

Suy ra: $OC = \frac{{AC}}{2} = a$

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right),OC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOC vuông tại O có:

$SC = \sqrt {O{C^2} + S{O^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 3a$

Ta có: $AH.SC = SO.AC\left( { = 2{S_{\Delta SAC}}} \right) \Rightarrow AH = \frac{{SO.AC}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 2 .2a}}{{3a}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}$