Giải bài 1 trang 84 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) lim; b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} ; c) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}.
Đề bài
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right);
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} ;
c) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn để tính: Cho điểm {x_0} thuộc khoảng K và hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới {x_0} nếu với dãy số \left( {{x_n}} \right) bất kì, {x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} và {x_n} \to {x_0}, thì f\left( {{x_n}} \right) \to L, kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L hay f\left( x \right) \to L khi x \to {x_0}.
Lời giải chi tiết
a) Giả sử \left( {{x_n}} \right) là dãy số bất kì thỏa mãn {x_n} \ne - 1 với mọi n và {x_n} \to - 1 khi n \to + \infty .
Ta có: \lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^3 - 3{x_n}} \right) = \lim x_n^3 - 3\lim {x_n} = {\left( { - 1} \right)^3} - 3.\left( { - 1} \right) = 2
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right) = 2;
b) Giả sử \left( {{x_n}} \right) là dãy số bất kì thỏa mãn {x_n} \ge \frac{{ - 5}}{2},{x_n} \ne 2 với mọi n và \lim {x_n} = 2
Ta có: \lim \sqrt {2{x_n} + 5} = \sqrt {2\lim {x_n} + \lim 5} = \sqrt {2.2 + 5} = 3
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} = 3;
c) Giả sử \left( {{x_n}} \right) là dãy số bất kì thỏa mãn \lim {x_n} = + \infty .
Ta có: \lim \frac{{4 - {x_n}}}{{2{x_n} + 1}} = \lim \frac{{\frac{4}{{{x_n}}} - 1}}{{2 + \frac{1}{{{x_n}}}}} = \frac{{\lim \frac{4}{{{x_n}}} - \lim 1}}{{\lim 2 + \lim \frac{1}{{{x_n}}}}} = \frac{{0 - 1}}{{2 + 0}} = \frac{{ - 1}}{2}
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}.