Giải bài 10 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau đunggs với mọi $n \in \mathbb{N}*$:

a) $1 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = {3^n}$

b) $C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + ... + C_{2n}^{2n - 1}$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$

Thay $x = 2$ ta được:

${3^n} = C_n^0 + C_n^1.2 + C_n^2{2^2} + ... + C_n^n{2^n}$

Hay $1 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = {3^n}$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(1 + x)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}$

Thay $x =  - 1$ ta được:

${(1 + \left( { - 1} \right))^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1.\left( { - 1} \right) + C_{2n}^2{\left( { - 1} \right)^2} + ... + C_{2n}^{2n}{\left( { - 1} \right)^{2n}}$

Hay $C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... - C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n} = 0$

Hay $C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + ... + C_{2n}^{2n - 1}$