Giải chuyên đề 2 Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton chuyên đề học tập toán 10 chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1). Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để trong ba quả cầu lấy ra:

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi (n in mathbb{N}*).

Có thể dự đoán rằng, với mỗi $n \in \mathbb{N}*$, $\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}$ Hãy chứng minh các công thức trên.

Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây

Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}*$:

Xác định hệ số của ({x^2}) trong khai triển của ({(3x + 2)^9})

Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*)

Chứng minh rằng ${8^n} > {n^3}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Khai triển biểu thức:

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$:

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Tìm hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển của biểu thức ${(2 - x)^{12}}$

Chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbb{N}*$, ta có:

Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của ${(ax + 1)^6}$, hệ số của ${x^4}$ gấp 4 lần hệ số của ${x^4}$. Tìm giá trị của a.

Chứng minh rằng nếu $x > - 1$ thì ${(1 + x)^n} \ge 1 + nx$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Tìm hệ số của ({x^3}) trong khai triển của biểu thức sau:

Biết hệ số của ${x^2}$ trong khai triển của ${(1 + 3x)^n}$ là 90. Tìm giá trị của n.

Cho $a,b \ge 0$. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển của: $(2x + 3){(x - 2)^6}$