Giải bài 3 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng nếu $x >  - 1$ thì ${(1 + x)^n} \ge 1 + nx$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${(1 + x)^1} = 1 + 1.x$

Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$

Giải sử mệnh đề đúng với $n = k$ nghĩa là có ${(1 + x)^k} \ge 1 + kx$

Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x$

Thật vậy, ta có

${(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x$

Do $1 + x > 0,k{x^2} \ge 0$

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.