Giải bài 3 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn (C) tâm ${F_1}$, bán kính r và một điểm ${F_2}$ thỏa mãn ${F_1}{F_2} = 4r$.

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua ${F_2}$ và tiếp xúc với $(C)$ nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn $(M,R)$ đi qua ${F_2}$ và tiếp xúc với $(C)$

Ta có: $M{F_1} = R + r;M{F_2} = R \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = r=2a$

$\Rightarrow M \in$ hypebol (H) có $2c={F_1}{F_2} = 4r$ và $2a = r$

b) Ta có: ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 4{r^2} - {\left( {\frac{r}{2}} \right)^2} = \frac{{15{r^2}}}{4}$

Phương trình chính tắc của (H) là $\frac{{{x^2}}}{{\frac{{{r^2}}}{4}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{15{r^2}}}{4}}} = 1$

Tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{{2r}}{{\frac{r}{2}}} = 4$