Giải bài 3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng ${8^n} > {n^3}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có ${8^1} > {1^3}$

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có: ${8^k} > {k^3}$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh ${8^{k + 1}} > {(k + 1)^3}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

${8^{k + 1}} > 8{k^3} = {k^3} + 3{k^3} + 3{k^3} + {k^3} > {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 = {(k + 1)^3}$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.