Giải bài 2 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}*$:

a) ${3^n} - 1 - 2n$ chia hết cho 4.

b) ${7^n} - {4^n} - {3^n}$ chia hết cho 12.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${3^1} - 1 - 2 = 0 \vdots 4$

Vậy khẳng định đúng với $n = 1$

Giải sử khẳng định đúng với $n = k$ tức là ta có ${3^k} - 1 - 2k$ chia hết cho 4

Ta chứng minh khẳng định đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${3^{k + 1}} - 1 - 2(k + 1)$ chia hết cho 4

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

${3^{k + 1}} - 1 - 2(k + 1) = {3^{k + 1}} - 3 - 2k = 3.\left( {{3^k} - 1 - 2k} \right) + 4k$ chia hết cho 4.

Vậy khẳng định đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${7^1} - {4^1} - {3^1} = 0 \vdots 12$

Vậy khẳng định đúng với $n = 1$

Giải sử khẳng định đúng với $n = k$ tức là ta có ${7^k} - {4^k} - {3^k}$ chia hết cho 12

Ta chứng minh khẳng định đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${7^{k + 1}} - {4^{k + 1}} - {3^{k + 1}}$ chia hết cho 12

Sử dụng giả thiết quy nạp, lưu ý $k \ge 1$, ta có

${7^{k + 1}} - {4^{k + 1}} - {3^{k + 1}} = {7.7^k} - {4.4^k} - {3.3^k} = 7\left( {{7^k} - {4^k} - {3^k}} \right) + {3.4^k} + {4.3^k}$ chia hết cho 12.

Vậy khẳng định đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.