Giải bài 2 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbb{N}*$, ta có:

a) ${5^{2n}} - 1$ chia hết cho 24.

b) ${n^3} + 5n$ chia hết cho 6.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${5^2} - 1 = 24$ chia hết cho 24.

Vậy a) đúng với $n = 1$

Giải sử a) đúng với $n = k$ nghĩa là có ${5^{2k}} - 1$ chia hết cho 24.

Ta chứng minh a) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${5^{2(k + 1)}} - 1$ chia hết cho 24.

Thật vậy, ta có

${5^{2(k + 1)}} - 1 = {5^{2k + 2}} - 1 = {25.5^{2k}} - 25 + 24 = 25.\left( {{5^{2k}} - 1} \right) + 24$

Chia hết cho 24 do ${5^{2k}} - 1$ chia hết cho 24.

Vậy a) đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${1^3} + 5.1 = 6$ chia hết cho 6.

Vậy b) đúng với $n = 1$

Giải sử b) đúng với $n = k$ nghĩa là có ${k^3} + 5k$ chia hết cho 6.

Ta chứng minh b) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${(k + 1)^3} + 5(k + 1)$ chia hết cho 6.

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{(k + 1)^3} + 5(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 5k + 5\\ = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3({k^2} + k) + 6 = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3k(k + 1) + 6\end{array}$

Mà $k \ge 1$ nên $k(k + 1) \vdots 2 \Rightarrow 3k(k + 1) \vdots 6$

Do đó ${(k + 1)^3} + 5(k + 1)$ chia hết cho 6.

Vậy b) đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.