Giải bài 2 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:
Đề bài
Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:
a) \({5^{2n}} - 1\) chia hết cho 24.
b) \({n^3} + 5n\) chia hết cho 6.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({5^2} - 1 = 24\) chia hết cho 24.
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({5^{2k}} - 1\) chia hết cho 24.
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({5^{2(k + 1)}} - 1\) chia hết cho 24.
Thật vậy, ta có
\({5^{2(k + 1)}} - 1 = {5^{2k + 2}} - 1 = {25.5^{2k}} - 25 + 24 = 25.\left( {{5^{2k}} - 1} \right) + 24\)
Chia hết cho 24 do \({5^{2k}} - 1\) chia hết cho 24.
Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 5.1 = 6\) chia hết cho 6.
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({k^3} + 5k\) chia hết cho 6.
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^3} + 5(k + 1)\) chia hết cho 6.
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} + 5(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 5k + 5\\ = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3({k^2} + k) + 6 = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3k(k + 1) + 6\end{array}\)
Mà \(k \ge 1\) nên \(k(k + 1) \vdots 2 \Rightarrow 3k(k + 1) \vdots 6\)
Do đó \({(k + 1)^3} + 5(k + 1)\) chia hết cho 6.
Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).