Giải bài 2 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a) {x−2y+z=3−y+z=2y+2z=1
b) {3x−2y−4z=34x+6y−z=17x+2y=5
c) {x+y+z=13x−y−z=4x+5y+5z=−1
Lời giải chi tiết
a) {x−2y+z=3(1)−y+z=2(2)y+2z=1(3)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
{x−2y+z=3(1)−y+z=2(2)3z=3(3.1)
Từ phương trình (3.1) ta có z=1
Thay z=1 vào phương trình (2) ta được y=−1
Thay y=−1 và z=1 vào phương trình (1) ta được x=0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (0;−1;1)
b) {3x−2y−4z=3(1)4x+6y−z=17(2)x+2y=5(3)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:
{4x−4z=8(1.1)4x+6y−z=17(2)x+2y=5(3)
Nhân hai vế của phương trình (1.1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
{4x−4z=8(1.1)6y+3z=9(2)x+2y=5(3) hay {x−z=2(1.1)2y+z=3(2)x+2y=5(3)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
{x−z=2(1.1)x+2y=5(2.1)x+2y=5(3)
Hai phương trình (2.1) và (3) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
{x−z=2(1.1)x+2y=5(2.1)
Từ phương trình (1.1), ta có x=z+2, thay vào phương trình (2.1) ta được z=−2y+3, từ đó suy ra x=−2y+5
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (−2y+5;y;−2y+3) với y∈R.
c) {x+y+z=1(1)3x−y−z=4(2)x+5y+5z=−1(3)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
{x+y+z=1(1)−4y−4z=1(2.1)x+5y+5z=−1(3)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
{x+y+z=1(1)−4y−4z=1(2.1)4y+4z=−2(3.1) hay {x+y+z=1(1)4y+4z=−1(2.1)4y+4z=−2(3.1)
Từ phương trình (2.1) và (3.1) suy ra -1 = -2 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.