Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Elip  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có nửa tiêu cự bằng $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}$.

Với mỗi điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm  ${F_1}$ là $M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0}$, ứng với tiêu điểm ${F_2}$ là $M{F_2} = a - \frac{c}{a}{x_0}$

Mặt khác $M({x_0};{y_0})$ thuộc elip nên $- a \le {x_0} \le a$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - c \le M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0} \le a + c\\a - c \le M{F_2} = a - \frac{c}{a}{x_0} \le a + c\end{array} \right.$

Hơn nữa,

$\begin{array}{l}M{F_1} = a - c \Leftrightarrow {x_0} =  - a,{y_0} = 0\\M{F_1} = a + c \Leftrightarrow {x_0} = a,{y_0} = 0\\M{F_2} = a - c \Leftrightarrow {x_0} = a,{y_0} = 0\\M{F_1} = a + c \Leftrightarrow {x_0} =  - a,{y_0} = 0\end{array}$

Vậy $M{F_1}$ nhỏ nhất bằng $a - c$ khi M trùng ${A_1}( - a;0)$ và lớn nhất bằng $a + c$ khi M trùng ${A_2}(a;0)$; $M{F_2}$ nhỏ nhất bằng $a - c$ khi M trùng ${A_2}(a;0)$ và lớn nhất bằng $a + c$ khi M trùng ${A_1}( - a;0)$.