Giải bài 2 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\\x - 3y = 2\\2x + y - z = 3\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\x + 3y + 2z = 8\\3x - y + z = 4\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\\2x + y + 4z = 2\\x + 2y - z = 4\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\x - 3y = 2\quad (2)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.$

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\3x = 6\quad \quad \quad (2.1)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2.1) ta có $x = 2$

Thay $x = 2$ vào phương trình (1) ta được $y = 0$

Thay $x = 2$ và $y = 0$ vào phương trình (3) ta được $z = 1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {2;0;1} \right)$

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\x + 3y + 2z = 8\;\;\quad (2)\\3x - y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\3x - y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\ - 4y - 2z =  - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.$

Rút gọn phương trình (3.1) thành phương trình (3.2) bằng cách chia hai vế cho -2:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\2y + z = 1\quad \;\;\,(3.2)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2.1) và (3.2) suy ra 6 = 1 (Vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\x + 2y - z = 4\quad (3)\end{array} \right.$

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\2x + y + 4z = 2\quad (3.1)\end{array} \right.$

Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z =  - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1), ta có $y = x + 5z + 2$ (4), thay vào phương trình (2) ta được $2x + \left( {x + 5z + 2} \right) + 4z = 2 \Leftrightarrow 3x + 9z = 0 \Leftrightarrow x =  - 3z$

Thay vào (4), được: $y = 2z + 2$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng $( - 3z;2z + 2;z)$ với $z \in \mathbb{R}$.