Giải bài 4 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $1 = \frac{{1 + 1}}{2}$

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} \le \frac{{k + 1}}{2}$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 2}}{2}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k \ge 1$ ta có

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{k + 2}}{2}$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.