Giải bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $a,b \ge 0$. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$

$\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có $\frac{{{a^1} + {b^1}}}{2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^1}$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n = 1$

Giải sử bất đẳng thức đúng với $n = k$ nghĩa là có $\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}$

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  $\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}$

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}.\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)$

Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:

$\left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}$

Hay $\left( {{a^k} + {b^k}} \right).\left( {a + b} \right) \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)$

Hay ${a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + b{a^k} + a{b^k} \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)$

Hay ${a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} - b{a^k} - a{b^k} \ge 0$

Hay $\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0$ đúng vì $\left( {{a^k} - {b^k}} \right)$ và $\left( {a - b} \right)$ cùng dấu, $k \in \mathbb{N}*;a,b \ge 0.$

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.