Giải bài 4 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng (d:x - y + 1 = 0) và điểm (F(1;1)). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:
Đề bài
Cho đường thẳng d:x−y+1=0 và điểm F(1;1). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:
a) e=12
b) e=1
c) e=2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định loại đường conic dựa vào tâm sai e:
+ 0<e<1 thì conic là đường elip
+ e=1 thì conic là đường parabol
+ e>1 thì conic là đường hypebol
Bước 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho MFd(M,Δ)=e
Từ đó kết luận phương trình đường conic.
Lời giải chi tiết
a) Đường conic có tâm sai e=12<1 nên là đường elip.
Điểm M(x,y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
MFd(M,Δ)=12⇔√(x−1)2+(y−1)2|x+y−1|√2=12⇔2√2√(x−1)2+(y−1)2=|x+y−1|⇔8(x−1)2+8(y−1)2=(x+y−1)2⇔7x2+7y2−14x−14y−2xy+15=0
Vậy phương trình đường elip là 7x2+7y2−14x−14y−2xy+15=0
b) Đường conic có tâm sai e=1 nên là đường parabol
Điểm M(x,y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
MFd(M,Δ)=1⇔√(x−1)2+(y−1)2|x+y−1|√2=1⇔√2√(x−1)2+(y−1)2=|x+y−1|⇔2(x−1)2+2(y−1)2=(x+y−1)2⇔x2+y2−2x−2y−2xy+3=0
Vậy phương trình đường parabol là x2+y2−2x−2y−2xy+3=0
c) Đường conic có tâm sai e=2>1 nên là đường hypebol.
Điểm M(x,y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
MFd(M,Δ)=2⇔√(x−1)2+(y−1)2|x+y−1|√2=2⇔√2√(x−1)2+(y−1)2=2|x+y−1|⇔(x−1)2+(y−1)2=2(x+y−1)2⇔x2+y2−2x−2y+4xy=0
Vậy phương trình đường hypebol là 7x2+7y2−14x−14y−2xy+15=0