Giải bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n∈N∗:
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n∈N∗:
a) 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
b) 1+4+9+...+n2=n(n+1)(2n+1)6
c) 1+2+22+23+24+...+2n−1=2n−1
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với n≥p thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n=k≥p và chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với n=1 ta có 1.2=1.(1+1).(1+2)3
Vậy a) đúng với n=1
Giải sử a) đúng với n=k nghĩa là có 1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)=k(k+1)(k+2)3
Ta chứng minh a) đúng với n=k+1 tức là chứng minh 1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)3
Thật vậy, ta có
1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)[k3+1]=(k+1)(k+2)(k+3)3
Vậy a) đúng với mọi n∈N∗.
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với n=1 ta có 1=1.(1+1)(2.1+1)6
Vậy b) đúng với n=1
Giải sử b) đúng với n=k nghĩa là có 1+4+9+...+k2=k(k+1)(2k+1)6
Ta chứng minh b) đúng với n=k+1 tức là chứng minh 1+4+9+...+k2+(k+1)2=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]6
Thật vậy, ta có
1+4+9+...+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)6[k(2k+1)+6(k+1)]=(k+1)6.(2k2+k+6k+6)=(k+1)6.(2k2+7k+6)=(k+1)6.(k+2).(2k+3)=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]6
Vậy b) đúng với mọi n∈N∗.
c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp
Với n=1 ta có 1=21−1
Vậy c) đúng với n=1
Giải sử c) đúng với n=k nghĩa là có 1+2+22+23+24+...+2k−1=2k−1
Ta chứng minh c) đúng với n=k+1 tức là chứng minh 1+2+22+23+24+...+2k−1+2k=2k+1−1
Thật vậy, ta có
1+2+22+23+24+...+2k−1+2k=2k−1+2k=2.2k−1=2k+1−1
Vậy c) đúng với mọi n∈N∗.