Giải mục 1 trang 26, 27, 28, 29 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ Khám phá

Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,

Một học sinh phát hiện ra công thức sau:

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\quad (1)$

a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với $n = 1,2,3,4,5.$

b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$. Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?

Lời giải chi tiết:

a) Kiểm tra bằng tính toán trực tiếp. Ta có

$1 = {1^2}$ nên (1) đúng với $n = 1$

$1 + 3 = 4 = {2^2}$  nên (1) đúng với $n = 2$

$1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}$ nên (1) đúng với $n = 3$

$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}$ nên (1) đúng với $n = 4$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}$ nên (1) đúng với $n = 5$

b) Khẳng định của bạn HS chỉ là phỏng đoán. Việc tô màu hay tính toán trực tiếp không thể kiểm chứng hết tất cả các giá trị của n (mà chỉ kiểm chứng được một số hữu hạn giá trị n nào đó). Do đó khẳng định của bạn HS là chưa thuyết phục.

Thực hành 1

Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với $n \ge p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = p$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \ge p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}$

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có:

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh

$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$

Thật vậy ta có

$\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$

Thực hành 2

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$

${2^{n + 1}} > {n^2} + n + 2$

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với $n \ge p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = p$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \ge p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 3$ ta có ${2^{3 + 1}} > {3^2} + 3 + 2$

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $n = 3$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có:

${2^{k + 1}} > {k^2} + k + 2$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh

${2^{k + 1 + 1}} > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2$

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k \ge 3$, ta có

$\begin{array}{l}{2^{k + 1 + 1}} = {2.2^{k + 1}}\\\quad \quad  > 2({k^2} + k + 2) = {(k + 1)^2} + {k^2} + 1 + 2\\\quad \quad  > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\end{array}$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$.