Giải mục 1 trang 56, 57, 58 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ1

Chứng tỏ rằng nếu điểm $M({x_0};{y_0})$ nằm trên parabol (P) thì điểm $N({x_0}; - {y_0})$ cũng nằm trên parabol (P)

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm $M({x_0};{y_0})$ nằm trên parabol thì ${y_0}^2 = 2p{x_0} \Leftrightarrow {( - {y_0})^2} = 2p{x_0}$

nên điểm $M'({x_0}; - {y_0})$ cũng nằm trên parabol.

Thực hành 1

Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a) $({P_1}):{y^2} = 2x$

b) $({P_2}):{y^2} = x$

c) $({P_3}):{y^2} = \frac{1}{5}x$

Phương pháp giải:

Cho parabol có PTCT  ${y^2} = 2px$

+ Tiêu điểm: $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$

+ Đỉnh O(0;0)

+ Đường chuẩn: $\Delta :x =  - \frac{p}{2}$

+ Trục đối xứng: Ox

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $2p = 2$, suy ra $p = 1$.

Vậy $({P_1})$ có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{2};0} \right)$, đỉnh $O(0;0)$, đường chuẩn $\Delta :x =  - \frac{1}{2}$ và nhận Ox làm trục đối xứng.

b) Ta có: $2p = 1$, suy ra $p = \frac{1}{2}$.

Vậy $({P_2})$ có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$, đỉnh $O(0;0)$, đường chuẩn $\Delta :x =  - \frac{1}{4}$ và nhận Ox làm trục đối xứng.

c) Ta có: $2p = \frac{1}{5}$, suy ra $p = \frac{1}{{10}}$.

Vậy $({P_2})$ có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{{20}};0} \right)$, đỉnh $O(0;0)$, đường chuẩn $\Delta :x =  - \frac{1}{{20}}$ và nhận Ox làm trục đối xứng.

Vận dụng 1

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $A(2;0)$ và đường thẳng $d:x + 2 = 0$. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm $J(x;y)$ của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (C) đi qua $A(2;0)$ và tiếp xúc với $d:x + 2 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d(J,d) = JA\\ \Leftrightarrow \left| {x + 2} \right| = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = {(x - 2)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = {x^2} - 4x + 4 + {y^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} = 8x\end{array}$

Tức là tâm $J(x;y)$ của (C) nằm trên parabol (P) ${y^2} = 8x$