Giải bài 10 trang 58 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Một người đang viết chương trình cho trò chơi đá bóng robot. Gọi $A( - 1;1),B(9;6),C(5; - 3)$là 3 vị trí trên màn hình

a) Viết phương trình các đường thẳng AB , AC , BC

b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {10;5} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 9} \right)$

+) Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow {AB}  = \left( {10;5} \right)$làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A( - 1;1)$nên có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 10t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.$

+) Đường thẳng AC nhận vectơ $\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 4} \right)$làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A( - 1;1)$nên có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 6t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.$

+) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 9} \right)$làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm $B\left( {9;6} \right)$nên có phương trình tham số là:      $\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 4t\\y = 6 - 9t\end{array} \right.$

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng AB và AC lần lượt là: $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;3} \right)$

$\cos \left( {AB,AC} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}} \Rightarrow \left( {AB,AC} \right) = 60^\circ 15'$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là $60^\circ 15'$

c) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 9} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {9; - 4} \right)$ và đi qua $B\left( {9;6} \right)$, suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

$9.\left( {x - 9} \right) - 4\left( {y - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x - 4y - 57 = 0$

Khoảng cách từ $A( - 1;1)$ đến đường thẳng BC là:

$d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {9.\left( { - 1} \right) - 4.1 - 57} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{70\sqrt {97} }}{{97}}$